Высшая математика. Шпаргалка

Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.

При переносе начала координат справедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точки М были х, у, а координаты нового начала в старой системе О*(х

, у

), то координаты точки М в новой системе координат с началом в точке О* будут равны х – х

, у – у

т. е. справедливо следующее х = х* + х

, у = у* + у

или х* = х – х

, у* = у – у

(* новые координаты точки).

При повороте осей на некоторый угол ? справедливы следующие формулы (где х, у – старые координаты точки; х*, у* – новые координаты этой же точки):

x = x* cos? – y* sin?;

y = x* sin? + y* cos?

или

x* = x cos? + y sin?;

y* = – x sin? + y cos?.

4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линиейn–порядка.

Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х

+ у

= R

, если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:

(х – а)

+ (у – b)

= R

.

Чтобы уравнение Ах

+ Вх + Ау

+ Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х

и у

были равны, чтобы В

+ С

– 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).

Координаты центра окружности, описанной уравнением Ах

+ Вх + Ау

+ Су + D = 0 и ее радиус: a = –B / 2A, b = –C / 2A, R

= (В

+ С

– 4АD) / 4A

.

Эллипс – сжатая окружность (рис. 3).

Рис. 3

Прямая АА

называется осью сжатия, отрезок АА

= 2а – большой осью эллипса, отрезок ВВ

= 2b – малой осью эллипса (a > b) точка О – центром эллипса, точки А, А

, В, В

– вершинами эллипса. Отношение k = b / aкоэффициент сжатия величина ? = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.

Каноническое уравнение эллипса: x

/ a