Живая математика. Математические рассказы и головоломки

КРОКЕТ[2 - Крокет – игра не такая уж старая. В начале века в нее любили играть в различных странах. Потом на какое-то время крокет был забыт, а сейчас интерес к нему возрождается снова.В России в крокет играли так. На земле или на траве разбивали площадку – поле (рис. 20). На поле каждая из команд вбивала по колышку (а), в определенном порядке расставляли проволочные дужки – ворота (Ь), а посредине между колышками ставили двое ворот крест-накрест – мышеловку (с). Каждый из игроков начинает от «своего» колышка. Цель игры состоит в том, чтобы, ударяя деревянным молотком по шару, провести свой шар через ворота и, попав в колышек противника, постараться вернуться к своему колышку. Не следует забывать и о противнике: нужно по мере возможности помешать ему достичь своего колышка.Игроки делают по одному удару поочередно, но могут получить право на дополнительный удар, если им удается провести шар через ворота и попасть своим шаром по другому шару – «крокировать».Нельзя только «попасть на кол», или «заколоться», – преждевременно ударить шаром по своему колышку.Искусные игроки набирают очки, выводя шары на удобные позиции, и получают право на дополнительные удары, умудряясь за один раз пройти часть ворот или даже все ворота. – Прим. ред.]

Крокетным игрокам предлагаю следующие пять задач.

25. Пройти ворота или крокировать?

Крокетные ворота имеют прямоугольную форму. Ширина их вдвое больше диаметра шара. При таких условиях что легче: свободно, не задевая проволоки, пройти с наилучшей позиции ворота или с такого же расстояния крокировать шар?

Рис. 20. Схема игры в крокет

26. Шар и столбик

Толщина крокетного столбика внизу – 6 см. Диаметр шара 10 см. Во сколько раз попасть в шар легче, чем с такого же расстояния заколоться?

27. Пройти ворота или заколоться?

Шар вдвое уже прямоугольных ворот и вдвое шире столбика. Что легче: свободно пройти ворота с наилучшей позиции или с такого же расстояния заколоться?

28. Пройти мышеловку или крокировать?

Ширина прямоугольных ворот втрое больше диаметра шара. Что легче: свободно пройти в наилучшей позиции мышеловку или с такого же расстояния крокировать шар?

29. Непроходимая мышеловка

При каком соотношении между шириной прямоугольных ворот и диаметром шара пройти мышеловку становится невозможным?

РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 15–29

ДОМИНО

15. Для упрощения задачи отложим пока в сторону все

7 двойных косточек: 0–0, 1–1, 2–2 и т. д. Останется 21 косточка, на которых каждое число очков повторяется 6 раз. Например, 4 очка имеется (на одном поле) на следующих 6 косточках:

4-0; 4–1; 4–2; 4–3; 4–5; 4–6.

Итак, каждое число очков повторяется, как мы видим, четное число раз. Ясно, что косточки такого набора можно приставлять одну к другой равными числами очков до исчерпания всего набора. А когда это сделано, когда наши 21 косточка вытянуты в непрерывную цепь, тогда между стыками 0–0,1 – 1, 2–2 и т. д. вдвигаем отложенные 7 двойняшек. После этого все 28 косточек домино оказываются вытянутыми, с соблюдением правил игры, в одну цепь.

16. Легко показать, что цепь из 28 костей домино должна кончаться тем же числом очков, каким она начинается. В самом деле: если бы было не так, то числа очков, оказавшиеся на концах цепи, повторялись бы нечетное число раз (внутри цепи числа очков лежат ведь парами); мы знаем, однако, что в полном наборе костей домино каждое число очков повторяется 8 раз, т. е. четное число раз. Следовательно, сделанное нами допущение о неодинаковом числе очков на концах цепи неправильно: числа очков должны быть одинаковы. (Такого рода рассуждения, как эти, в математике называются «доказательствами от противного».)

Между прочим, из сейчас доказанного свойства цепи вытекает следующее любопытное следствие: цепь из 28 косточек всегда можно сомкнуть концами и получить кольцо. Полный набор костей домино может быть, значит, выложен, с соблюдением правил игры, не только в цепь со свободными концами, но также и в замкнутое кольцо. Читателя может заинтересовать вопрос: сколькими различными способами выполняется такая цепь или кольцо? Не входя в утомительные подробности расчета, скажем здесь, что число различных способов составления 28-косточковой цепи (или кольца) огромно: свыше 7 биллионов. Вот точное число:

7 959 229 931 520

(оно представляет собою произведение следующих множителей: 213 х 38 х 5 х 7 х 4231).

17. Решение этой головоломки вытекает из только что сказанного. 28 косточек домино, как мы знаем, всегда выкладываются в сомкнутое кольцо; следовательно, если из этого кольца вынуть одну косточку, то